====== Matematyka II ====== * Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory i reguły całkowania.\\ Jeżeli f jest ciągła, to jest całkowalna. odwrotnie być nie musi. * Całkowanie przez część\\ <m>int{}{}{f(x)g(x)dx}=int{}{}{h prime(x)g(x)dx}=h(x)g(x)-int{}{}{h(x)g prime(x)dx}</m>\\ czyli\\ ''f g' fg-całk{g*f'}\\ f' g''\\ w wyrażeniu podcałkowym potrzebny jest iloczyn dwóch funkcji takich, że umiemy scałkować iloczyn pochodnej pierwszej i całki drugiej lub całki pierwszej funkcji i pochodnej drugiej. * Całkowanie przez podstawienie\\ <m>(G f)prime=(G prime f)f prime=(g f)f prime</m>\\ pod całą potrzebne jest wyrażenie będące iloczynem złożenia łatwo całkowalnej funkcji z pewną funkcją i pochodnej tej drugiej funkcji. * Rozwiązywanie całek * całka z 1/{nierozkładalny trójmian} -> arctg * rozkład na ułamki proste * jeżeli stopień licznika > mianownika -> wydzielić wielomiany * Wzory rekurencyjne dla całek * podstawienia Eulera * Całki Abela\\ <m>1/sqrt{k pm x^2}</m> * podstawienia uniwersalne dla całkowania funkcji trygonometrycznych * Całka oznaczona (Riemanna). Definicja, własności, interpretacja geometryczna.\\ Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego. Zastosowania całek. Całka niewłaściwa. * podział przedziału * podział normalny * wartościowanie podziału * średnica podziału * suma całkowa (suma Riemmana)\\ <m>Sigma(f,P,T(P))=sum{1..n}{}{f(t_i)(x_i-x_{i-1})}</m>\\ granica tego przy <m>n right inf</m> jest całką oznaczoną * funckja Dirichleta. 1 dla Q, 0 dla pozostałych * funkcja górnej granicy całkowania\\ pochodna funkcji górnej granicy całkowania po zmiennej będącej górną granicą całkowania jest wyrażeniem podcałkowym * tw. Newtona-Leibnitza\\ całka oznaczona jest różnicą funkcji pierwotnych wyrażenia podcałkowego na krańcach * całkowanie przez podstawienie\\ <m>int{a}{b}{g(f)f}=int{f(a)}{f(b)}{g}</m> * wartość średnia funkcji * Ciągi i szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe, szeregi Taylora i Maclaurina. Szeregi zespolone. Wzór Eulera. * szereg potęgowy\\ <m>f_n(x)=a_n (x-x_0)^n</m>\\ <m>S_n(x)=a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + ...</m> * szereg potęgowy jest zawsze zbieżny w swoim środku * tw. Abela\\ jeśli s.p jest zbieżny w pewnym punkcie, to na pewno jest zbieżny dla wszystkich punktów bliższych środkowi szeregu\\ jeśli s.p jest rozbieżny w pewnym punkcie, to na pewno\\ jest rozzbieżny dla wszystkich punktów dalszych środkowi szeregu * tw. o promieniu zbieżności szeregu potęgowego\\ <m>lim{n right inf}{delim{|}{a_n}{|}^{1/n}}=lim{n right inf}{delim{|}{a_{n+1}}{|}/delim{|}{a_n}{|}}=g</m>\\ <m>r = 1/g</m> * rozwinięcie w szereg jest jednoznaczne * wzór eulera\\ <m>e^{i z}=cos(z)+i sin(z)</m> * szereg potęgowy można różniczkować i całkować wyraz po wyrazie * zastosowanie całek * oblicza pól * obliczanie długości krzywych * obliczenia objętości i pól powierzchni * Macierze. Działania na macierzach. Wyznaczniki. Macierz odwrotna. * Macierz kwadratową można przedstawić jednoznacznie jako sumę symetrycznej i antysymetrycznej * dopełnienie algebraiczne elementu macierzy * twierdzenie Laplace'a\\ o rozwijanie wyznacznika względem pewnego wiersza * metoda Sarrusa * metoda Chio * wyznacznik Vandermonde'a * tw. Cauchy'ego\\ Wyznacznik iloczynu dwu macierzy kwadratowych jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy. * Twierdzenie Kroneckera-Capellego\\ Warunkiem koniecznym i wystarczającym rozwiązalności ogólnego układu równań liniowych jest równość rzędu macierzy W współczynników układu i rzędu macierzy uzupełnionej U: * macierz odwrotna do macierzy\\ <m>A^{-1} = 1 / {det A} delim{[}{D_{i j}}{]}^T</m> * rząd macierzy\\ stopień największego niezerowego wyznacznika, który da się utworzyć z macierzy * Układy równań liniowych. Twierdzenie Cramera. * Jeśli wyznacznik macierzy współczynników układu jest niezerowy, to taki układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. * układy równań równoważnych * postać zredykuwana macierzy * rozwiąznywanie * metoda macierzowa\\ pomnożenie obu stron przez <m>A^-1 circ</m> * metoda Gaussa * metoda Crammera * Metoda eliminacji Gaussa. * Elementy algebry liniowej.\\ Przestrzeń liniowa, liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej. Przekształcenia liniowe, jądro i obraz. * przestrzeń liniowa to czwórka uporządkowana V, K, +, * * podprzestrzeń * zbiór rozwiązań układu jednorodnego m równań liniowych z n niewiadomymi jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R^n * liniowa kombinacja wektorów * powłoka liniowa rozpięta na wektorach * liniowa niezależność wektorów * baza przestrzeni: wektory lnz, na których jest rozpięta przestrzeń * baza kanoniczna: (1, 0, 0, ...), (0, 1, 0, 0, ...), ... * współrzędne wektora w bazie * wymiar: liczba wektorów bazy * przekształcenia liniowe\\ (addytywne i jednorodne) * jądro odwzorowania liniowego (Ker)\\ to przeciwobraz wektora zerowego przestrzeni wartości odwzorowania * izomorfizmy\\ odwzorowanie liniowe i bijekcja * Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni.\\ Iloczyn skalarny i wektorowy. Równanie płaszczyzny i równania prostej. * równanie parametryczne prostej * postać krawędziowa prostej * równanie ogólne płaszczyzny * równanie płaszczyzny w postaci normalnej * badanie przebiegu zmienności funkcji * asymptoty * dziedzina * asmyptoty * przedziały monotoniczności, ekstrema * przedziały wypukłości, punkty przegięcia * tabelka, wykres

przedmioty/matematyka_ii.txt · ostatnio zmienione: 2006/06/10 16:38 (edycja zewnętrzna)
Recent changes RSS feed Creative Commons License Donate Minima Template by Wikidesign Driven by DokuWiki