====== Matematyka III ====== * Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. * Zbiory otwarte i punkty wewnętrzne zbioru. * kula * metryka * zbiór ograniczony * zbiór domknięty\\ pochodna zbioru zawiera się w zbiorze * zbiór spojny * obszar\\ spójny i otwarty * punkt * wewnętrzny * zewnętrzny * brzegowy * skupienia\\ każde sąsiedztwo punktu zawiera punkty zbioru A * otoczenie i sąsiedztwo * Granica ciągu w <m>bbR^n</m>. Punkty skupienia.\\ punkt q zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu * Granica funkcji. Funkcje ciągłe. * pochodna kierunkowa\\ <m>f prime_h(a)=lim{t right 0}{{f(a+t h)-f(a)}/t} = varphi prime(0)</m>\\ pochodna kierunkowa jest jednorodna i addytywna\\ istnienie pochodnych kierunkowych we wszystkich kierunkach nie implikuje ciągłości\\ **pochodną kierunkową znaleźć najłatwiej mnożąć gradient przez wektor kierunku!** * Pochodne cząstkowe. Funkcje różniczkowalne i klasy C1. * pochodne kierunkowe w kierunku wersorów * pochodna mocna (Frecheta)\\ <m>varphi</m> jest pochodną mocną, gddy\\ <m>lim{x right a}{{f(x)-f(a)-varphi(x-a)}/{||x-a||}}=theta</m> (wektor zerowy) \\ Jeżeli istnieje p. Frecheta w punkcie, to istnieją kierunkowe: <m>f prime_h{a}=f prime(a) h</m>\\ Jeżeli f. ma p.cząstkowe na pewnym otoczeniu punktu i są one ciągłe na swojej dziedzinie, to istnieje pochodna Frecheta o macierzy <m>A_{f}(a)</m>. Odwrotnie też jest.\\ <m>A_{f}(a)</m> to macierz Jacobiego dla odwzorowania f w punkcie a\\ w kolumnach są pochodne po kolejnych wersorach\\ w wierszach pochodne kolejnych elementów wektorów przestrzeni, do której działa f\\ pochodna Frecheta jest liniowa - addytywna i jednorodna\\ f jest klasy <m>C^r</m>, jeżeli istnieją na D wszystkie pochodne cząstkowe do rzędu r włącznie i są one ciągłe na swoich dziedzinach * Gradient i jego geometryczna interpretacja.\\ gradient to kierunek najszybszej zmiany wartości funkcji i jest to macierz pierwszych pochodnych cząstkowych w punkcie * używane oznaczenie:\\ <m>f(x_0, circ): bbR right bbR</m> \\ x<sub>0</sub> jes stałe, y się zmienia * Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Twierdzenie Schwarza.\\ jeżeli w pewnym otoczeniu poch. kier. II rzędu istnieją i są ciągłe, to <m>f_{kh}prime(a)=f_{hk}prime(a)</m> * Ekstrema lokalne.\\ <m>Delta_i(f,a)</m> - wyznacznik stopnia i, pochodnych II rzędu funkcji f, w wierszach zmienia się pierwsza zmienna, po której różniczkujemy, kolumnami - druga * Geometria analityczna * iloczyn skalarny * iloczyn wektorowy * iloczyn mieszany * równanie płaszczyzny\\ <m>delim{lbrace}{(x,y,z) in bbR^3: ax+by+cz+d=0}{rbrace}</m>, wektor [a,b,c] jest wtedy prostopadły do tej płaszczyzny * równanie prostej * <m>delim{lbrace}{p_0+t vec{v} : t in bbR}{rbrace}</m> * parametryczne\\ <m>delim{lbrace}{matrix{3}{1}{ {x=x_0 + ta}{y=y_0+tb}{z=z_0+tc} }}{~}</m>\\ dla <m>t in bbR</m> * równanie krawędziowe\\ część wspólna dwóch płaszczyzn * kierunkowe\\ l: <m>(x-x_0)/a = (y-y_0)/b = (z-z_0)/c</m> * całka funkcji wielu zmiennych * obszar normalny względem zmiennej * obszar regularny\\ suma skończonej ilości obszarów normalnych o rozłącznych wnętrzach * Elementy rachunku prawdopodobieństwa. * Przestrzeń probabilistyczna i aksjomaty prawdopodobieństwa.\\ zdarzenie elementrane to element zbioru przestrzeni zdarzeń elementranych\\ zdarzenie (losowe) to zbiór zdarzeń elementranych, czyli każdy podzbiór Omegi * sigma ciało (<m>sigma</m>-ciało) podzioru przestrzeni zdarzeń\\ sigma ciało to każda rodzina F podzbioru <m>2^Omega</m> : * niepusta * zawierająca zdarzenia przeciwne dla każdego ktore zawiera * przeliczalne sumy zdarzeń są zdarzeniami * Prawdopodobieństwo\\ każda funkcja P: F->R, taka że * <m>P(A) >= 0</m> * <m>P(Omega) = 1</m> * P(sumy zdarzen rozlacznych) = suma P tych zdarzen * Przestrzeń probabilistyczna\\ Trójka uporządkowana\\ (<m>Omega</m>, F, P) * Prawdopodobieństwo geometryczne. * Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. * Prawdopodobieństwo warunkowe. * Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa. * Niezależność zdarzeń. * Schemat Bernoulliego. * Zmienne losowe dyskretne i ciągłe. * Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej. * Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej. * Dystrybuanta. * Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych. * Najważniejsze rozkłady zmiennych losowych

przedmioty/matematyka_iii.txt · ostatnio zmienione: 2006/11/22 16:14 (edycja zewnętrzna)
Recent changes RSS feed Creative Commons License Donate Minima Template by Wikidesign Driven by DokuWiki